Théorème de Shannon
Exemple : Reconstitution d'un signal à partir des échantillons mesurés
Le signal est échantillonné. Comment retrouver le signal continu (la courbe bleue) à partir des échantillons (les ronds barrés sur la courbe verte)?
Un première solution est d'utiliser une interpolation linéaire : on relie les points de mesures consécutifs par une droite. En faisant cela on constate un écart entre le signal original (en bleu) et le signal reconstitué en vert.
Une autre solution est d'utiliser le spectre du signal discret.
Le signal discret est défini par :
\(x_e(t)=x(t)\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(t-kT_e)\)
Calculons sa transforée de Fourier :
\(TF(x_e)=X_e(\nu)=\frac{1}{T_e}X(\nu) * \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(\nu-\frac{k}{T_e})\) où * est le symbole de convolution et en se rappelan que :
TF(x.y)=X*Y
TF(x*y)=X.Y
Le spectre du signal échantillonné est donc périodique de période 1/Te. L'élément qui est additionné pour chaque période est le spectre X du signal analogique. Si le spectre est non nul sur une largeur inférieure à 1/Te
Pour retrouver le spectre de x à partir du graphique à gauche, il faut multiplier le spectre de xe par une fonction porte de largeur Fe.
Une fois cette opération faite, on peut effectuer la transformée de Fourier inverse et l'on obtiendra x(t). Donc à partir des valeurs de xe on reconstitue complétement x!
L'expression mathématique du calcul de x à partir de xe est alors donnée par :
\(\sqcap(\frac{\nu}{F_e}).X_e(\nu)=X(\nu)\) pour retrouver le spectre de x en multipliant le spectre de de xe
par une fenêtre rectangulaire.
En effectuant la transformée de Fourier inverse de l'expression précédente on a l'expression de x(t) :
\(x(t)=(x*sinc)(t)=\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}x(kT_e)\frac{sin(\pi F_e (t-kT_e))}{\pi F_e (t-kT_e))}\) où * représente la convolution.
A partir de la formule précédente et en utilisant les points bleus (les valeurs mesurées), on construit la courbe bleue qui se confond avec le signal continu. Le signal reconstruit et continu se confondent à condition que le théorème de Shannon soit respecté.
Exemple : Signal contenant deux fréquences
Le signal contient deux fréquences l'une à 220Hz et l'autre à 277.2Hz. Vous pouvez faire varier la fréquence d'échantillonnage.
Vous pouvez écouter le signal original et le signal reconstruit.
Le graphique du haut représente le signal analogique et le signal échantillonné.
Le graphique du milieu représente le signal échantillonné et le signal reconstruit à partir des échantillons.
Le graphique du bas donne l'erreur entre le signal reconstruit et le signal analogique.
Définition : Théorème de Shannon
Soit X le spectre d'un signal tel que
X(f)=0 pour |f|>Fs
alors le spectre Xe du signal échantillonné uniformément à une fréquence Fe est égal au spectre du signal pour une fréquence f comprise entre -Fe/2 et +Fe/2 si la fréquence d'échantillonnage Fe est supérieur à 2Fs
Une conséquence de l'échantillonnage importante est :
Le spectre du signal discret Xe est un spectre périodique de période Fe=1/Te
Le spectre du signal échantillonné est représentatif du signal continu entre -Fe/2 et +Fe/2
Remarque : Spectre d'un signal échantillonné composé de nombres réels
Le spectre d'un signal composé de nombres réel étant à symétrie hermitienne (\(X( \nu)^*=X(-\nu)\))
Le module du spectre est pair.
Le spectre du signal réel échantillonné est représentatif du signal continu entre 0 et +Fe/2
Méthode : Comment calculer une valeur à partir des échantillons
La formule de réechantillonnage est :
\(x(t)=(x*sinc)(t)=\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}x(kT_e)\frac{sin(\pi F_e (t-kT_e))}{\pi F_e (t-kT_e))}\)
où * représente la convolution.
Soit le signal suivant x :
\(x(t)=20\sqcap(t-\frac{1}{2}) \sin(2\pi t)\)
Prenons Fe=6.58Hz. Les valeurs échantillonnées de x sont :
k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
x(kTe) | 0 | 16.32502 | 18.861844 | 5.467857 | -12.54431 | -19.96149 | -10.51909 | 0 |
On veut reconstruire, par exemple, la valeur du signal en t=0.22s à partir des échantillons précédents. Il faut calculer le sinus cardinal de \(y=\pi F_e (t-kT_e)\)
Les valeurs de l'expression sont donc pour t=0.22s
k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
sinc(y) | -0.217 | 0.702 | 0.568 | -0.202 | 0.123 | -0.0883 | 0.069 | -0.0566 |
Il ne nous reste plus qu'à faire la somme des produits terme à terme des deux dernières des deux tableaux :
0*(-0.217)+ 16.32502*0.702 + 18.861844*0.568 -5.467857*0.202 - 12.54431*0.123 +19.961488*0.0883-10.51909*0.69+ 0.*0.0566 soit une valeur de 20.56.
Remarque :
Nous n'obtenons pas la vraie valeur car le spectre du signal réel n'est pas nul à l'infini.
Remarque : Le théorème de Shannon doit être respecté !
Dans la partie précédente nous avons vu comment retrouver le spectre du signal continu à partir du spectre du signal échantillonné.
Une première contrainte est que le spectre du signal continu soit limité dans l'espace des fréquences et une seconde condition est que la fréquence d'échantillonnage soit au moins égale au double de la fréquence maximale du signal.
Ces deux conditions expriment le théorème de Shannon.