Repliement spectral. Non respect du théorème de Shannon
Rappel :
Les signaux que nous étudions, sont composés de nombre réels. Le spectre de tels signaux est à symétrie hermitienne (modifié page de cours sur propriétés TF). Donc
\(|X(\nu)|=|X(-\nu)|\) notons cette règle R1.
Si le signal est échantillonné avec une fréquence Fe(=1/Te) alors comment nous l'avons dit précédemment le spectre du signal échantillonné est périodique de période Fe :
\(|X(\nu)|=|X(kFe+\nu)|\) notons cette règle R2.
Penons un exemple fixons à Fe=1000Hz (la fréquence d'échantillonnage) et étudions les conséquences de la discrétisation du signal continu pour les fréquences 700Hz et 5300 Hz.
D'après R1 le module de la raie à 700Hz est identique en -700Hz (fréquence négative!)
D'après R2 pour le module de la raie en 700Hz sera identique en
...-2300, -1300, -300, 700, 1700, 2700,...
De même pour -700
... -2700, -1700, -700, 300, 1300, 2300...
Effectuons le même raisonnement pour la raie à 5300Hz
D'après R1 le module de la raie à 5300Hz est identique en -5300Hz (fréquence négative!)
D'après R2 pour le module de la raie en 5300Hz sera identique en
...,-5700, -4700, -3700, -2700, -1700, -700, 300, 1300, 2300, 3300, 4300, 5300, 6300, ...
De même pour -5300
... -6300, -5300, -4300, -3300, -2300, -1300, -300, 700, 1700, 2700, 3700, 4700, 5700, ...
On peut donc voir que la raie à 5300 Hz après un échantillonnage à 1000 Hz se retrouve à 300 et 700Hz, on parle alors de repliement spectral.
Dans l'exemple suivant le signal analogique contient deux fréquences, l'une à 277Hz et l'autre à 440Hz. L'amplitude de la fréquence à 277Hz est la moitié de celle à 440Hz. Vous pouvez fixer la fréquence d'échantillonnage et observer la périodicité du spectre du signal échantillonné.
Exemple : Mélange de sinus
Soit un signal continu x composé de deux fréquences (f1=440Hz et f2=968Hz) :
\(x(t)=sin(2\pi 440 t)+\frac{1}{2}sin(2 \pi 968 t)\)
Pour respecter le théorème de Shannon il faut donc pour la première raie avoir une fréquence de 880 Hz et la seconde 1936Hz donc pour le signal (les deux raies simultanément) environ 2000Hz.
Si nous échantillons le signal avec une fréquence d'échantillonnage allant de 500 hz à 8500 Hz nous pouvons visualiser l'effet de cette variation sur le graphique du module du spectre :
sur le graphique du haut la courbe noire représente le signal continu et en vert les points échantillonnés à la fréquence donnée dans le titre du graphique.
sur le graphique du bas en noir est tracé le module du psectre du signal échantillonné.
Nous vérifions que le spectre du signal discret est périodique de période Fe.
En agrandissant le spectre dans la zone [0, Fe], nous vérifions dans le spectre du signal discret, qu'une fréquence f se retrouve dupliquer aux positions f+kFe et -f+kFe avec k un entier relatif.
Lorsque le théorème de Shannon est respecté les fréquences se retrouvent à la bonne position dans le spectre.
Exemple : Non respect du théorème sur une image numérique
Une image numérique est un échantillonnage spatial d'un signal continu à deux variables. l'échantillonnage est fait par le capteur matriciel photosensible.
L'image que nous allons échantillonner à une intensité lumineuse qui varie de manière sinusoïdale à la fréquence de 0.01 pixel par mètre.
La fréquence d'échantillonnage de l'image varie de 0.1 à 0.001 pixel par mètre. Au début le théorème de Shannon est respecté puis dès que la fréquence est inférieure à 0.02 pixel par mètre l'image fluctue et le motif n'est plus à la bonne fréquence.
Exemple : Non respect du théorème sur un signal audio : mélange de sinus
Le signal est constitué de deux fréquences 440Hz et 1000Hz.
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Exemple : Signal audio "Je vous ai compris"
On fait varier (artificiellement) la fréquence d'échantillonnage de 5512 à 344Hz.
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Exemple : Quand la fréquence d'acquisition ne respecte pas le théorème de Shannon
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Complément :
Le phénomène de repliement spectral nous transforme une haute fréquence en une basse fréquence comprise entre 0 et Fe/2. Ce phénomène est indésirable. Pour le supprimer il faut agir sur le signal continu et enlever toutes les fréquences supérieures à Fe/2 à l'aide d'un filtre passe bas analogique.