Introduction au traitement des images et à la stéréo-vision

Coordonnées homogènes dans le plan

DéfinitionMatrice

Une matrice est un tableau de nombres, utilisée plus particulièrement en algèbre linéaire.

DéfinitionAddition de deux matrices

Addition :

On peut additionner deux matrices si leurs tailles, nombre de lignes et de colonnes, sont identiques.

La règle générale est

désigne l'élement de la matrice en ligne i et colonne j.

DéfinitionProduit de deux matrices

Produit matriciel :

La règle générale est

Si A a n lignes et m colonnes et B a p lignes et q colonnes alors le produit de A par B a N lignes et q colonnes et le nombre de colonnes de A doit être égal au nombre de lignes de B m=p.

ExempleExemple de produits matriciel

Quelques exemples :

DéfinitionTransposée d'une matrice

La transposée d'une matrice est obtenue en échangeant les lignes et les colonnes.

Si alors la transposée de A notée est égale à

Rappelproduit scalaire de deux vecteurs

Soient deux vecteurs de composantes et le produit scalaire de est égal à .

Il peut se mettre sous la forme matricielle suivante :

DéfinitionDroite

Une droite dans le plan est définie par l'équation :

RemarqueDroite et points sous forme matricielle

Un point A appartient à la droite D d'équation ax+by+c si

Un point dans le plan est représenté un vecteur à 3 composantes.

Si le point de coordonnées appartient à la droite alors le point de coordonnées appartient aussi à la droite.

Un point de coordonnées représente donc un point du plan

DéfinitionProduit vectoriel

Le produit vectoriel de deux vecteurs est égal à :

avec

DéfinitionIntersection de deux droites du plan

Deux droites   et se coupent en un Point M dont les coordonnées homogènes sont

ExempleIntersection de droites

Soient deux droites d'équation x+y+3=0 et 2x+y+1=0.

L'intersection de ces droites est donnée par le produit vectoriel de [1 1 3] et [2 1 1].

soit en coordonnées homogènes le point

ExempleIntersection de droites parallèles

Soient deux droites d'équation x+y+3=0 et x+y+5=0.

L'intersection de ces droites est donnée par le produit vectoriel de [1 1 3] et [1 1 5].

soit en coordonnées homogènes le point Le point est à l'infini !

RemarqueDeux droites parallèles se coupent à l'infini ?

Cette propriété peut sembler mathématique mais a deux nombreuses applications pratiques en dessin comme en traitement d'images.

Les droites parallèles dans le monde réel se coupent avant l'infini dans une perspective. Les droites parallèles doivent converger vers le même point (point de fuite)

Les droites [1 2 3] et [1 2 5]. se coupent à l'infini en [2 -1 0].

DéfinitionMatrice de passage et changement de repère

Soit une base B1=(e1,...,en) et d'une base B2=(f1,...,fn). On appelle matrice de passage de B1 à B2 la matrice carrée de taille n dont la j-ième colonne est formée des coordonnées de fj dans la base B1. Autrement dit, la matrice de passage de B1 à B2 est la matrice des nouveaux vecteurs de base exprimés en fonction des anciens.

Soit e un vecteur de E, X1 ses coordonnées dans B1, X2 ses coordonnées dans B2, et soit P1,2 la matrice de passage de B1 à B2. Alors on a :

X1=P1,2X2

ExempleRotation de 90°

Le repère B1 est et le repère B2 est avec et

La matrice de passage est donc :

Dans la première colonne on retrouve les coordonnées de et dans la seconde colonne les coordonnées de

Les coordonnées dans B2 de =[1 0]T sont dans B1 données par la relation matricielle :

Les coordonnées dans B1 de =[0 1]T sont dans B2 données par la relation matricielle :

DéfinitionChangement de repère en coordonnées homogènes

En coordonnées homogènes l'origine du repère peut être déplacé. On ajoute une colonne, la translation associée au déplacement, à la matrice de passage. Si la matrice de passage pour passer du repère B1 à B2 est et la vecteur translation [tx ty^]T alors la matrice de passage sera :

ExempleChangement de repère dans le plan

On reprend l'exemple précédent :

Le repère B1 est et le repère B2 est avec et

on ajoute une translation de vecteur . la matrice de passage est donc :

Soit un point, de coordonnées [x1 y1 1]T dans B1, de coordonnées de coordonnées [x2 y2 1]T dans B2, et soit P1,2 la matrice de passage de B1 à B2. Alors on a :

[x1 y1 1]T=P12[x2 y2 1]T

Par exemple l'origine du repère B2 a pour coordonnées P12[0 0 1]T dans B1, soit [2 1 1]T.

De même l'origine du repère B1 a pour coordonnées P12(-1)[0 0 1]T dans B1, soit environ [-2.232 0.134 1]T.

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