Régression linéaires et moindres carrés en traitement des images
Fondamental : Régression linéaire à dans le plan
Soient m observations
. On veut trouver une relation linéaire par rapport à
et
telle que :
L'équation précédente peut se mettre, pour l'ensemble des données x_i,y_i, sous forme matricielle :
la matrice M est rectangulaire donc non inversible. Pour trouver p résoudre ce système, on multiplie chaque membre par la transposé de M :
M'M est une matrice carrée donc inversible. L'expression de p est alors :
La matrice
est la pseudoinverse de la matrice rectangulaire M
Exemple : Recherche d'une cubique passant par 3 points
Notre modèle
Nos mesures sont, sous la forme
:
(1,5) (2 ,8) (3,7)
La matrice M est donc
Avec Scilab la pseudoinverse est
Remarque : Ordre des paramètres dans le modèle
Au lieu de
, on peut écrire
on aura alors :
Les calculs seront identiques , mais le résultat dans l'ordre inverse : il faut simplement se souvenir de l'ordre.
Fondamental : Régression linéaire dans un volume
Soient m observations
. On veut trouver une relation linéaire par rapport à
,
et
telle que :
Z=MP avec
et
et enfin
